Как рассчитать инвестиционную доходность в годовом исчислении?

Финансовая математика/статистика
Источник: GAAP.RU
Опубликовано: 6 июня 2017

Источник: Investopedia

Инвестиции с какой годовой доходностью – 9% или 10% - вы бы предпочти? При прочих равных, конечно, любой выбрал бы 10% вместо 9%, но когда речь заходит о расчете инвестиционной доходности в годовом исчислении (т.е. доходности, приведенной в расчете за один годовой период), то это будет уже не “при прочих равных”, и различия в методах расчета могут породить подчас шокирующие расхождения. В этой небольшой статье ее автор Стивен Карр (Stephen Carr) рассказывает, как рассчитывается доходность в годовом исчислении, и как эти расчеты способны исказить восприятие инвесторов в отношении инвестиций.

Экономическая реальность

Даже просто признав, что существуют расхождения в методах расчета инвестиционной доходности, мы тем самым поднимаем очень важный вопрос: а какой из них лучше отражает экономическую реальность? Какой метод точнее скажет, сколько дополнительной наличности окажется в кармане у инвестора в конце периода? Среди возможных альтернатив геометрическое среднее (также иногда называемое составным средним – “compound average”) наилучшим образом отражает ситуацию с доходностью на инвестиции. Чтобы проиллюстрировать это, представьте, что у вас есть инвестиции со следующими доходностями в течение трехлетнего периода: 1 год – 15%, 2 год – -10%, 3 год – 5%. Чтобы рассчитать составную среднюю доходность, мы сначала прибавим единицу к каждой ежегодной доходности (получив 1.15, 0.9 и 1.05, соответственно), а затем перемножим эти цифры и возведем в степень 1/3, чтобы отразить тот факт, что у нас все-таки комбинированная доходность за трехлетний период:

(1.15)*(0.9)*(1.05)^1/3 = 1.0281

Осталось выразить все в процентах – 2.81% в годовом исчислении на протяжении трехлетнего периода. Вопрос: отражает ли эта доходность экономическую реальность? Чтобы проверить, рассмотрим простой пример в долларовых терминах:

Стоимость на начало инвестиционного периода - $100

Доходность за первый год (15%) - $15

Стоимость на конец первого года - $115

Стоимость на начало второго года - $115

Доходность за второй год (-10%) - -$11.50

Стоимость на конец второго года - $103.5

Стоимость на начало третьего года - $103.5

Доходность за третий год (5%) - $5.18

Стоимость на конец инвестиционного периода - $108.67

Если бы мы просто зарабатывали по 2.81% каждый год, мы бы получали:

В первый год: $100 + 2.81% = $102.81

Во второй год: $102.81 + 2.81% = $105.70

В третий год: $105.7 + 2.81% = $108.67

В чем недостаток усредненных расчетов?

Еще более распространенный метод расчета средних называется арифметическим средним, или простым средним. Для многих измерений арифметическое среднее хорошо подходит: оно и простое, и довольно точное. Если нужно рассчитать среднюю дневную норму осадков за определенный месяц, среднее количество выбиваемых очков в спортивной игре или средний ежедневный баланс на текущем счете, этот инструмент прекрасно подходит.

Но что если нам нужно знать среднегодовую составную доходность? Здесь простое среднее уже не будет точным инструментом. Возвращаясь к предыдущему примеру, давайте рассчитаем средние доходности за трехлетний период:

15% + -10% + 5% = 10%
10%/3 = 3.33%

Из уже сделанных выше расчетов понятно, что у инвестора на самом деле на руках отнюдь не долларовый эквивалент 3.33% в конце каждого года. В данном случае простое среднее плохо отражает экономическую реальность. Между 3.33% и 2.81% довольно существенная разница. В нашем примере она привела бы к завышению доходности на инвестиции на сумму $1.66 (или 1.5%). На десятилетнем отрезке это расхождение будет еще значительнее: $6.83, или 5.2% завышения.

Фактор волатильности

Разница между простым средним и составным средним в отношении доходности усугубляется фактором волатильности. Давайте представим, что на протяжении того же трехлетнего периода у нас на самом деле были следующие доходности на инвестиции: 1 год – 25%, 2 год – -25%, 3 год – 10%.

В данном случае простая средняя доходность по-прежнему равна 3.33%, однако составное (геометрическое) среднее уменьшается до 1.03%. Столь большое расхождение между простым и геометрическим средним объясняется математическим принципом, известным как Неравенство Дженсена: для данных простых средних доходностей реальная экономическая доходность (составная средняя) уменьшается с ростом волатильности (в данном случае разброса доходностей). Это можно себе представить и таким образом: если мы потеряем 50% наших инвестиций, нам потребуется доходность в 100%, чтобы вернуться обратно к точке безубыточности.

Впрочем, обратное также верно: с уменьшением волатильности расхождение между простым и составным средним также уменьшается. Если бы мы получали одну и ту же доходность каждый год, эти два значения сравнялись бы.

Составляя вашу доходность

Так каково же практическое применение Неравенства Дженсена? Давайте рассмотрим иллюстративный пример, в котором расхождение между простым и составным средним извращается в рекламных целях. В этом реальном примере инвестиционный менеджер утверждает, что поскольку его фонд предложил меньшую волатильность по сравнению с S&P 500, инвесторы, выбравшие его фонд, по итогам измерений получат более высокую оценку своего состояния, чем если бы они инвестировали в биржевой индекс, даже несмотря на то, что получили бы одну и ту же гипотетическую доходность. Этот управляющий фондами даже включил в презентацию впечатляющий график, который поможет инвесторам оценить все различия в итоговом состоянии.

Вопрос: две группы инвесторов в этом случае могли в самом деле получить одинаковые средние доходности, ну и что из этого? Почти наверняка они не получат при этом одного и того же значения составного среднего, которое действительно отражает экономическую доходность.

Заключение

Составная средняя доходность отражает реальную экономическую ситуацию с инвестициями. Понимание всех тонкостей измерения результатов инвестиций имеет ключевое значение для управления личными финансами, а также позволяет оценить навыки вашего брокера или фондового управляющего. Так какую доходность вы предпочитаете – 9% или 10%. Ответ: ту, что принесет больше денег в карман!

Теги: инвестиционная доходность  доходность в годовом исчислении  экономическая реальность  доходность на инвестиции  составная средняя доходность  геометрическое среднее  арифметическое среднее  простое среднее  фактор волатильности  Неравенство Дженсена