Тема 5. Доходность и риск.
5.5. Количественное измерение риска
Средняя арифметическая ожидаемых доходностей (ri) инвестиций, взвешенная по вероятности возникновения отдельных значений, называется математическим ожиданием. Условимся называть эту величину средней ожидаемой доходностью:
, (5.5.1)
где pi – вероятность получения доходности ri.
В статистике количественным измерителем степени разброса значений переменной вокруг ее средней величины (математического ожидания) является показатель дисперсии (б2):
(5.5.2)
Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим или стандартным отклонением б:
(5.5.3)
Данный показатель используется в финансовом менеджменте для количественного измерения степени риска планируемых инвестиций. Чем больше разброс ожидаемых значений доходности вложений вокруг их среднеарифметической величины, тем выше риск, сопряженный с данным вложением. Фактическая величина доходности может быть как значительно выше, так и значительно ниже ее средней величины.
Практическая ценность такого подхода заключается не только (и не столько) в применении статистических формул, а в осознании необходимости многовариантного планирования инвестиционных решений. Любые ожидаемые результаты этих решений могут носить лишь вероятностный характер. От финансиста требуется не только правильно применить формулу расчета доходности инвестиций, но и дать количественную оценку вероятности возникновения конкретного результата. Как минимум, необходимо планировать не менее трех вариантов развития событий: оптимистический, пессимистический и наиболее вероятный. Полная вероятность возникновения всех этих вариантов должна быть равна 1.
Например, оценивая две акции А и Б, инвестор пришел к выводу, что распределение вероятностей их ожидаемой доходности можно представить следующим образом:
Таблица 5.5.1. Распределение вероятностей доходности акций.
| Варианты прогноза | Вероятность | Доходность, % | ||
| акция А | акция Б | акция А | акция Б | |
| Оптимистический | 0,3 | 0,3 | 100 | 20 |
| Реалистический | 0,4 | 0,4 | 15 | 15 |
| Пессимистический | 0,3 | 0,3 | -70 | 10 |
Среднеарифметическая ожидаемая доходность (математическое ожидание), взвешенная по вероятности каждого варианта составит:
для акции А 
;
для акции Б 
.
Таблица 5.5.2. Расчет среднего квадратического отклонения
| Акция | ri | pi |  |  |  |
| А | 100 | 0,3 | 15 | 85 | 2167,5 |
| 15 | 0,4 | 15 | 0 | 0 | |
| -70 | 0,3 | 15 | -85 | 2167,5 | |
| Итого А: | 1 | 0 | 4335 | ||
| бА |  | ||||
| Б | 20 | 0,3 | 15 | 5 | 7,5 |
| 15 | 0,4 | 15 | 0 | 0 | |
| 10 | 0,3 | 15 | -5 | 7,5 | |
| Итого Б: | 1 | 0 | 15 | ||
| бБ |  |
Прежде всего инвестор должен оценить величину риска, сопряженного с каждым из сравниваемых активов. Для этого ему следует рассчитать стандартные отклонения доходности ? по каждой ценной бумаге. Выполним эти расчеты в табл. 5.5.2. Разброс значений ожидаемой доходности по акции А почти в 20 раз больше, чем по акции Б. Очевидно, что первое вложение является более рискованным, поэтому предлагаемая по нему компенсация риска в виде 15%-ой доходности абсолютно недостаточна. Точно такую же среднюю ожидаемую доходность способна принести менее рискованная акция Б. Схема на рис. 5.5.1 наглядно иллюстрирует разброс ожидаемых значений доходности по двум акциям: он значительно шире по первому активу (А).На этой схеме изображено распределение вероятностей. В данном случае оно является дискретным, прерывистым, поэтому данные представлены в форме столбцов (гистограмма). В случае непрерывного распределения, график представляет собой плавную кривую.
Тесноту связи двух переменных в статистике измеряют при помощи коэффициентов корреляции, которые рассчитываются по формуле:
, (5.5.4)
где Cov(А, Б) – коэффициент ковариации между доходностью акций А и Б.
Коэффициент ковариации вычисляется по формуле:
(5.5.5)
Использовав данные табл. 5.5.2, получим:
Тогда коэффициент корреляции составит:
Рисунок 5.5.1. Распределение вероятностей по двум акциям
То есть, «поведение» акций на рынке абсолютно идентично, поэтому они не могут быть использованы для диверсификации несистематического риска инвестиционного портфеля. С увеличением стоимости акции А будет возрастать в цене и акция Б, соответственно падение цены на первую акцию обусловливается влиянием тех же факторов, что и на вторую. В случае положительного влияния факторов, инвестор будет богатеть значительно быстрее, однако в противоположном случае, его убытки также будут возрастать опережающими темпами.